Question

设a，b，m为正整数，若a和b除以m的余数相同，则称a和b对m同余．记作a≡b（bmodm），已知a=C₂₀₁₀¹3²+C₂₀₁₀²3⁴+…+C₂₀₁₀²⁰¹⁰3⁴⁰²⁰，b≡a（mod10），则b的值可以是（ ）
A．2007
B．2008
C．2009
D．2010

Answer

观察题中式子：a=C2010132+C2010234+…+C2010201034020，先由二项式定理得：1+C2010132+C2010234+…+C2010201034020=（1+9）2010，得到C2010132+C2010234+…+C2010201034020=（1+9）2010-1，即C2010132+C2010234+…+C20102010340209（mod10），而2009≡9（mod10），从而得出b的值．
【解析】
由二项式定理得：
∵1+C2010132+C2010234+…+C2010201034020=（1+9）2010，
∴C2010132+C2010234+…+C2010201034020=（1+9）2010-1，
即C2010132+C2010234+…+C2010201034020除以10的余数为：9．
而2009≡9（mod10），
则b的值可以是2009．
故选C．