Question

设{a_n}是正项等比数列，令S_n=lga₁+lga₂+…+lga_n，n∈N^*，若存在互异的正整数m，n，使得S_m=S_n，则S_m+n=    ．

Answer

根据{an}是正项等比数列，推断出lgan+1-lgan结果为常数，判断出数列{lgan}为等差数列，进而用等差数列求和公式分别表示出Sm和Sn，根据Sm-Sn=0求得lga1+）=0代入Sm+n求得答案．
【解析】
∵{an}是正项等比数列，设公比为q，
∴lgan+1-lgan=lgq
∴数列{lgan}为等差数列，
设公差为d
则Sm=mlga1+，Sn=nlga1+
∵Sm=Sn，
∴Sm-Sn=mlga1+-nlga1-=（m-n）（lga1+）=0
∵m≠n
∴lga1+）=0
∴Sm+n=（m+n）lga1+=（m+n）（lga1+）=0
故答案为0．