Question

一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为V₁，圆柱的体积为V₂，且V₁=kV₂，则k_min=    ．

Answer

设球半径为r，根据圆柱的底面半径与内切球半径相等，高等于内切球直径，我们易求出满足条件的圆柱的体积，设圆锥底半径为R=rcotα，则我们易求出圆锥的体积（含参数α），进而可以求出K的表达式，再利用函数值域的求法，我们易求出满足条件kmin．
【解析】
设球半径为r，圆柱的底面半径也为r，高为2r，
则V2=2πr3．
设圆锥底半径为R=rcotα，高H=Rtan2α．
则V1=πR2H=（πr3cos2αtan2α）
则V1：V2=（cos2αtan2α）：6．
∵cos2αtan2α=
则当tan2α=，即tanα=时，cos2αtan2α取最小值8，
此时kmin=
故答案为：