Question

数列a_n中，a₁=t，a₂=t²，其中是函数f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一个极值点．
（1）证明：数列a_n+1-a_n是等比数列；
（2）求a_n．

Answer

（1）根据函数在的导数等于零寻找an+1，an，an-1之间的关系，然后根据等比数列的定义进行证明；（2）在（1）的基础上求出数列an+1-an的通项公式，按照迭加的方法即可求出an．
（1）证明：∵f（x）=an-1x3-3[（t+1）an-an+1]x+1∴f'（x）=3an-1x2-3[（t+1）an-an+1]，
根据已知，即tan-1-（t+1）an+an+1=0，即an+1-an=t（an-an-1），当t≠1时，数列an+1-an是等比数列．（6分）
（2）【解析】
由于a2-a1=t2-t=t（t-1），所以an+1-an=（t-1）tn．
所以an=（an-an-1）+（an-1-an-2）++（a2-a1）+a1=（t-1）tn-1+（t-1）tn-1++（t-1）t+t=．
所以数列an的通项公式an=tn．（12分）