Question

已知直线l：X-y+1=0，⊙O：x²+y²=2上的任意一点P到直线l的距离为d．当d取得最大时对应P的坐标（m，n），设g（x）=mx+-2lnx．
（1）求证：当x≥1，g（x）≥0恒成立；
（2）讨论关于x的方程：根的个数．

Answer

首先（1）求证函数恒成立的问题，可以根据求导函数来判断函数的单调性，求得最值，然后直接求得结果．
（2）讨论关于x的方程根的个数可以求导函数，然后判断其单调性后，分段讨论在各个区间根的情况．
【解析】
（1）由题意得P（1，-1），
∴m=1，n=-1∴
∴，
∴g（x）在[1，+∞）是单调增函数，
∴g（x）≥g（1）=1-1-2ln1=0对于x∈[1，+∞）恒成立．
（2）方程；
∴2lnx=2x3-4ex2+tx
∵x＞0，∴方程为
令，H（x）=2x2-4ex+t，
∵，当x∈（0，e）时，L′（x）≥0，
∴L′（x）在（0，e]上为增函数；x∈[e，+∞）时，L′（x）≤0，
∴L′（x）在[0，e）上为减函数，
当x=e时，
H（x）=2x2-4ex+t=2（x-e）2+t-2e2，
∴可以分析①当，即时，方程无解．
②当，即时，方程有一个根．
③当，即时，方程有两个根．