Question

已知如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
（1）求侧棱A₁A与底面ABC所成角的大小；
（2）求侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角的大小；
（3）求顶点C到侧面A₁ABB₁的距离．

Answer

（1）要求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；必须先找出线面角，就是∠A1AC；
（2）要求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；利用三垂线定理作出角，即作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB．所以∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角．求解即可；
（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离，可以应用等体积法求解，也可以直接作出距离解三角形即可．
（1）【解析】
如图作A1D⊥AC，垂足为D，由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC，
所以∠A1AD为A1A与面ABC所成的角．
因为AA1⊥A1C，AA1=A1C，
所以∠A1AD=45°为所求．

（2）【解析】
作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB．
所以∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角．
由已知，AB⊥BC，得ED∥BC．
又D是AC的中点，BC=2，AC=2，
所以DE=1，AD=A1D=，tan∠A1ED==．
故∠A1ED=60°为所求．

（3）解法一：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，
则CH的长是C到平面A1ABB1的距离．
连接HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB．
又A1E⊥AB，知HB∥A1E，且BC∥ED，
所以∠HBC=∠A1ED=60°
所以CH=BCsin60°=为所求．
解法二：连接A1B．
根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥C-A1AB的高h．
由得，
即
所以为所求．