Question

已知函数f（x）=ax³+2x²，其中a＞0
（Ⅰ）当a=3时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ） 若函数f（x）在区间（-2，0）上是减函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）若函数y=f（x）在区间[-1，1]上的最小值为-2时，求a的值．

Answer

（Ⅰ）把a=3代入到f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f'（x），因为曲线的切点为（1，f（1）），所以把x=1代入到f'（x）中求出切线的斜率，把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；
（II）设函数f（x）在区间 （-2，0）内是减函数，即导数在在区间 （-2，0）内恒小于0由二次函数的性质转化出关于参数的不等式，解出a的取值范围．
（III）先求导f′（x）=ax2+4x=x（ax+4），再对a进行分类讨论：当-1≤-，当-＜-1；分别求得f（x）在区间[-1，1]上的最小值，从而列出关于a的方程即可求得a=12．
【解析】
（I）a=3时f（x）=x3+2x2
f′（x）=3x2+4x，f′（1）=7，f（1）=3，
∴所求的切线方程为：y-3=7（x-1）
即7x-y-4=0
（II）f'（x）=ax2+4x
若函数f（x）在区间 （-2，0）内是减函数，
则f′（x）＜0在区间 （-2，0）内恒成立，
即ax2+4x＜0⇔ax+4＞0⇔a＜-在区间 （-2，0）内恒成立，
则 a＜2
a的取值范围a＜2；
（III）f（x）=ax3+2x2∴f′（x）=ax2+4x=x（ax+4）
因a＞0，f′（x）＞0，x＜-或x＞0，f′（x）＜0，-＜x＜0
y=f（x）在x＜-或x＞0上单调增，在-＜x＜0上单调减．
当-1≤-即a≥4时y=f（x）在[-1，-]，[0，1]上单调增，在[-，0]上单调减，f（x）的最小值在x=-1或x=0时取到，
f（0）=0不符合题意，f（-1）=-a+2，a=12
当-＜-1即0＜a＜4时y=f（x）在[0，1]上单调增，在[-1，0]上单调减
∴y=f（x）的最小值在x=0取到    
而f（0）=0≠-2（舍）
∴a=12．