Question

对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|=|a||b|sinθ（其中θ为向量a与b的夹角），a×b的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系．如图，在平行六面体ABCD-EFGH中，∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，AB=AD=AE=2，则=（ ）

A．4
B．8
C．
D．

Answer

根据题意和向量积定义，判断出向量的方向且垂直平面ABCD，由数量积的运算需要求出向量和所成角θ的余弦值，即由题意作EI⊥AC于I，则＜AEI=θ，过I作IJ⊥AD于J，连EJ，由三垂线逆定理可得EJ⊥AD，在直角三角形求出cosθ的值和向量的模，最后代入向量积和数量积定义求解．
【解析】
据向量积定义知，向量垂直平面ABCD，且方向向上，设与所成角为θ．
∵∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，
∴点E在底面ABCD上的射影在直线AC上．
作EI⊥AC于I，则EI⊥面ABCD，∴θ+∠EAI=．
过I作IJ⊥AD于J，连EJ，由三垂线逆定理可得EJ⊥AD．
∵AE=2，∠EAD=60°，∴AJ=1，EJ=．
又∵∠CAD=30°，IJ⊥AD，∴AI=．
∵AE=2，EI⊥AC，∴cos∠EAI==．
∴sinθ==cos∠EAI=，cosθ=．
故=||||sin∠BAD||cosθ=8××=，
故选D．