Question

在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；
（Ⅱ）求二面角A-BC-D的余弦值．

Answer

（Ⅰ）根据题意，要证明线面垂直，只需证明两个线线垂直．
（Ⅱ）二面角A-BC-D的余弦值即为其平面角∠AED的余弦值，通过△ABC是正三角形，求出即可．
【解析】
（Ⅰ）证明：因为△ABC是等腰直角三角形，D是斜边BC的中点，所以AD⊥CD．
又∠BDC=90°，所以BD⊥CD．因为AD与BD交于点D，所以CD⊥面ABD．
（Ⅱ）【解析】
如图，取BC的中点E，连DE、AE
因为AB=AC，则AE⊥BC．因为BD=CD，则DE⊥BC．
所以∠AED为二面角A-BC-D的平面角．
因为AD⊥BD，AD⊥CD，所以AD⊥面BCD．
设AD=1，则BD=DC=1，AB=AC=BC=．
从而△ABC是正三角形，所以AE=．
在Rt△ADE中，sin∠AED==．
所以cos∠AED=，
故二面角A-BC-D的余弦值为：．