Question

某创业投资公司计划在2010年向某企业投入800万元用于开发新产品，并在今后若干年内，每年的投入资金都比上一年减少20%．估计2010年可获得投资回报收入400万元，由于该项投资前景广阔，预计今后的投资回报收入每年都会比上一年增加25%．
（Ⅰ）设第n年（2010年为第一年）的投入资金为a_n万元，投资回报收入为b_n万元，求a_n和b_n的表达式；
（Ⅱ）从哪一年开始，该投资公司前几年的投资回报总收入将超过总投入？

Answer

（Ⅰ）根据题意可知年投入的资金依次成首项为800万元，公比为的等比数列，每年的投资回报收入依次成首项为400万元，公比为的等比数列．进而利用等比数列的通项公式求得an和bn．
（Ⅱ）设经过n年的总投入为Sn万元，总收入为Tn万元，进而根据等比数列的求和公式分别求得Sn和Tn．进而根据Tn-Sn＞0进而可得求得n的范围．
【解析】
（Ⅰ）据题意，每年投入的资金依次成首项为800万元，公比为的等比数列，每年的投资回报收入依次成首项为400万元，公比为的等比数列．
所以，．
（Ⅱ）设经过n年的总投入为Sn万元，总收入为Tn万元，则，．
由Tn-Sn＞0，得＞0，即．
设，代入上式整理得，5x2-7x+2＞0，解得或x＞1（舍去）．
当n=4时，=；当n=5时，=．
因为是减函数，所以当n≥5时，有成立，从而Tn-Sn＞0成立．
答：从2014年开始，该投资公司前几年的投资回报总收入将超过总投入．