Question

设双曲线，点A、B分别为双曲线C实轴的左端点和虚轴的上端点，点F₁、F₂分别为双曲线C的左、右焦点，点M、N是双曲线C的右支上不同两点，点Q为线段MN的中点．已知在双曲线C上存在一点P，使得．
（Ⅰ）求双曲线C的离心率；
（Ⅱ）设a为正常数，若点Q在直线y=2x上，求直线MN在y轴上的截距的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由题设知．．设点P（x，y），则有，．由此推导出c=3a，可得离心率；
（Ⅱ）由题意知c=3a，则b2=c2-a2=8a2．若MN⊥x轴，则Q在x轴上，不合题意．设直线MN的方程为y=kx+m，代入，得8x2-（kx+m）2=8a2，即（8-k2）x2-2kmx-m2-8a2=0．若k2=8，则MN与双曲线C的渐近线平行，不合题意．设点M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x，y），由根与系数的关系能够推导出直线MN在y轴上的截距的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由题设，点A（-a，0），B（0，b），F1（-c，0），F2（c，0），其中．（1分）
因为，则．
设点P（x，y）
，则，所以，．（3分）
因为点P在双曲线上，所以，即（c-a）2=4a2．（4分）
因为c＞a，所以c-a=2a，即c=3a，故离心率．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知c=3a，则b2=c2-a2=8a2．（7分）
若MN⊥x轴，则Q在x轴上，不合题意．
设直线MN的方程为y=kx+m，代入，得8x2-（kx+m）2=8a2，即（8-k2）x2-2kmx-m2-8a2=0．（*）（9分）
若k2=8，则MN与双曲线C的渐近线平行，不合题意．
设点M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x，y），则，，．（10分）
若点Q在直线y=2x上，则．
因为点M、N在双曲线的右支上，所以m≠0，从而k=4．（11分）
此时，方程（*）可化为8x2+8mx+m2+8a2=0．
由△=82m2-4×8（m2+8a2）＞0，得m2＞8a2．（12分）
又M、N在双曲线C的右支上，则x1+x2=-m＞0，所以．
故直线MN在y轴上的截距的取值范围是．（13分）