Question

过点F（0，1）作直线l与抛物线x²=4y相交于两点A、B，圆C：x²+（y+1）²=1
（1）若抛物线在点B处的切线恰好与圆C相切，求直线l的方程；
（2）过点A、B分别作圆C的切线BD、AE，试求|AB|²-|AE|²-|BD|²的取值范围．

Answer

（1）先求抛物线过点B的切线方程，利用点B处的切线恰好与圆C相切及点B在抛物线即可求得点B坐标，从而可求直线方程；
（2）由已知，直线l的斜率存在，则设直线l的方程为：y=kx+1，与x2=4y联立，再分别表示出各线段长，即可求得|AB|2-|AE|2-|BD|2的取值范围．
【解析】
（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）
由x2=4y，得，则过点B的切线方程为：
由已知：点B处的切线恰好与圆C相切，
∴，即点B坐标为，
∴直线l的方程为：
（Ⅱ）
法一：由已知，直线l的斜率存在，则设直线l的方程为：y=kx+1，
联立x2=4y，得x2-4kx-4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=-4
∴x12+x22=16k2+8
∴|AB|2-|AE|2-|BD|2=（-2-2k2）x1x2-4k（x1+x2）-6=-8k2+2≤2
∴|AB|2-|AE|2-|BD|2的取值范围是（-∞，2]
法二：根据题意，连接AC、AB﹑EC﹑ED．设直线l的方程为：y=kx+1，
联立x2=4y可得x2-4kx-4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=-4
|AE|2=|AC|2-|EC|2=x12+（y1+1）2-1．
同理，|BD|2=x22+（y2+1）2-1．
又|AB|2=（x1+x2+2）2
∴|AB|2-|AE|2-|BD|2=2x1x2+4（x1+x2）-（y12+y22）-2（y1+y2）+4=-8k2+2≤2．
∴|AB|2-|AE|2-|BD|2的取值范围是（-∞，2]