Question

已知函数（其中n为常数，n∈N^*），将函数f_n（x）的最大值记为a_n，由a_n构成的数列{a_n}的前n项和记为S_n．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，总存在x∈R⁺使，求a的取值范围；
（Ⅲ）比较与a_n的大小，并加以证明．

Answer

（Ⅰ），令fn′（x）＞0，则x＜en+1-n．所以fn（x）在（-n，en+1-n）上递增，在（en+1-n，+∞）上递减．由此能求出Sn．
（Ⅱ）由n≥1，知en+1递增，n（n+1）递增，递减．所以，令，则，故g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减．由此入手能够求出a的取值范围．
（Ⅲ）作差相减，得，整理为，令，能够推导出．
【解析】
（Ⅰ），（2分）
令fn′（x）＞0，则x＜en+1-n．
∴fn（x）在（-n，en+1-n）上递增，在（en+1-n，+∞）上递减．（4分）
∴当x=en+1-n时，（5分）
即，
则．（6分）
（Ⅱ）∵n≥1，∴en+1递增，n（n+1）递增，
∴递减．
∴，
即（8分）
令，则，
∴g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减．
当x→0时，；
当x→+∞时，；
又g（1）=1+a，
∴g（x）∈（a，1+a]（10分）
由已知得，（a，1+a]⊇，
∴（11分）
（Ⅲ）
=
=
=（12分）
令，
∵在[1，+∞）上递减．
∴，
即（13分）
又（14分）
∴
∴（15分）