Question

数列{a_n}的前N项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T．

Answer

（I）利用递推公式an+1=2Sn把已知转化为an+1与an之间的关系，从而确定数列an的通项；
（II）由（I）可知数列an从第二项开始的等比数列，设bn=n则数列bn为等差数列，所以对数列n•an的求和应用乘“公比”错位相减．
【解析】
（I）∵an+1=2Sn，
∴Sn+1-Sn=2Sn，
∴=3．
又∵S1=a1=1，
∴数列{Sn}是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3n-1（n∈N*）．
∴当n≥2时，an-2Sn-1=2•3n-2（n≥2），
∴an=
（II）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan，
当n=1时，T1=1；
当n≥2时，Tn=1+4•30+6•31+…+2n•3n-2，①3Tn=3+4•31+6•32+…+2n•3n-1，②
①-②得：-2Tn=-2+4+2（31+32+…+3n-2）-2n•3n-1=2+2•=-1+（1-2n）•3n-1
∴Tn=+（n-）3n-1（n≥2）．
又∵Tn=a1=1也满足上式，∴Tn=+（n-）3n-1（n∈N*）