Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是线段A₁C₁的中点，AC∩BD=F．
（Ⅰ） 求证：CE⊥BD；
（Ⅱ） 求证：CE∥平面A₁BD；
（Ⅲ） 求三棱锥D-A₁BC的体积．

Answer

（I）由已知中正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD与AC为底面正方形的对角线，互相垂直，结合正方体性质，我们结合线面垂直的判定定理得到BD⊥平面ACC1A1，进而得到CE⊥BD；
（Ⅱ） 连接A1F，我们易证明A1F∥CE，进而结合线面平行的判定定理，我们易得到CE∥平面A1BD；
（Ⅲ） 由三棱锥D-A1BC的体积等于三棱锥A1-DBC的体积，我们分别计算出棱锥的高及三角形DBC的面积，代入棱锥体积公式即可得到答案．
证明：（Ⅰ）根据正方体的性质BD⊥AC，
因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥AA1，又AC∩AA1=A
所以BD⊥平面ACC1A1，CE⊂平面ACC1A1，所以CE⊥BD；
（Ⅱ）连接A1F，
因为AA1∥BB1∥CC1，AA1=BB1=CC1，
所以ACC1A1为平行四边形，因此A1C1∥AC，A1C1=AC
由于E是线段A1C1的中点，所以CE∥FA1，因为FA1⊂面A1BD，CE⊄平面A1BD，
所以CE∥平面A1BD
（Ⅲ）