Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=-，S_n+=a_n-2（n≥2，n∈N）
（1）求S₂，S₃，S₄的值；
（2）猜想S_n的表达式；并用数学归纳法加以证明．

Answer

（1）S1=a1，由S2+=a2-2=S2-a1 求得S2，同理求得 S3，S4．
（2）猜想Sn =-，n∈N+，用数学归纳法证明，检验n=1时，猜想成立；假设SK=-，则当n=k+1时，由条件可得，，解出 SK+1=-，故n=k+1时，猜想仍然成立．
【解析】
（1）S1=a1=-，∵Sn+=an-2（n≥2，n∈N），令n=2可得
，S2+=a2-2=S2-a1-2，∴=-2，∴S2=-．
同理可求得 S3=-，S4=-．
（2）猜想Sn =-，n∈N+，下边用数学归纳法证明：
①当n=2时，S2=a1+a2=-，猜想成立．
②假设当n=k时猜想成立，即SK=-．
则当n=k+1时，∵Sn+=an-2，∴，
∴，∴=-2=，
∴SK+1=-，∴当n=k+1时，猜想仍然成立．
综合①②可得，猜想对任意正整数都成立，即 Sn =-，n∈N+成立．