Question

如图，在直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的高，有很多大家熟悉的性质，例如“AB⊥AC”，勾股定理“|AB|²+|AC|²=|BC|²”和“=+”等，由此联想，在三棱锥O-ABC中，若三条侧棱OA，OB，OC两两互相垂直，可以推出哪些结论？至少写出两个结论．

Answer

本题考查的知识点是类比推理，在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质；由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质；故由：“直角三角形中，直角边边长为a，b，斜边边长为c，直角三角形具有性质：c2=a2+b2．”（边的性质），类比到空间可得的结论是“在直角三棱锥中，直角面面积分别为S1，S2，S3，斜面面积为S”，S12+S22+S32=S2
【解析】
（以下仅供参考，不同结论请酌情给分．每个正确结论给（2分），证明给5分）  可以得出有以下结论：
（Ⅰ）三个侧面OAB、OAC、OBC两两互相垂直（或OA⊥BC、OB⊥AC、OC⊥AB）
（Ⅱ）=++（H为△ABC的重心）
（Ⅲ）S△OAB2+S△OAB2+S△OBC2=S△ABC2
以下给出具体的证明：
（1）证明：∵OA⊥OC，OB⊥OC∴OC⊥平面OAB
∴平面OAC⊥平面OAB  平面OBC⊥平面OAB 同理可证平面OBC⊥平面OAC

（2）证明：如图连接AH并延长AH交BC于D连接OD
∵OA⊥面OBC∴OA⊥OD
在Rt△ABC中∵OH⊥OD∴OH•AD=AO•OD
∴OH2•AD2=AO2•OD2
又∵AD2=OA2+OD2∴=+
∵AD⊥BC，由三垂线定理得：BC⊥OD
∴在Rt△OBC中  OD2•BC2=BO2•CO2
∴OD2=又∵BC2=BO2+CO2
∴=+②由①②得：=++

（Ⅳ） 证明：如图（延用（Ⅸ）中的字母a，b，c）∵H为垂心∴AD⊥BC
又∵OA、OB、OC两两垂直∴S△OAB=ab   S△OBC=bc  S△OAC=ac  
S△ABC=BC•AD
∴S△OAB2+S△OAC2+S△OBC2=（ a2 b2+b2 c2+a2 c2）=a2（b2+c2）+b2 c2…①
又∵在Rt△BOC中，OD⊥BC∴OB2•OC2=b2 c2=OD2•BC2=OD2•（b2+c2）…②
∴②代入①得：S△OAB2+S△OBC2+S△OAC2=（b2+c2）•AD2=BC2•AD2=S△ABC2