Question

已知函数，（a≠0，a∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a＞0时，若存在x使得f（x）≥ln（2a）成立，求a的取值范围．

Answer

（I）由题意可得对a 情况讨论解不等式可求．
（II）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（III）由条件：“存在x使得f（x）≥ln（2a）成立令h（x）=1+x-2ln（1+x）”，由（II）知，这时只需只须，可以得出a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）当a＞0时，由得x＞0；当a＜0时由得-1＜x＜0
综上：当a＞0时函数f（x）的定义域为（0，+∞）；
当a＜0时函数f（x）的定义域为（-1，0）（3分）
（Ⅱ）=（5分）
令f'（x）=0时，得lnax=0，即，
①当a＞0时，时f'（x）＞0，当时，f'（x）＜0，
故当a＞0时，函数的递增区间为，递减区间为
②当-1≤a＜0时，-1＜ax＜0，所以f'（x）＞0，
故当-1≤a＜0时，f（x）在x∈（-1，0）上单调递增．
③当a＜-1时，若，f'（x）＜0；若，f'（x）＞0，
故当a＜-1时，f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．
综上：当a＞0时，f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为
当-1≤a＜0时，f（x）的单调递增区间为（-1，0）；
当a＜-1时，f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为；（10分）
（Ⅲ）因为当a＞0时，函数的递增区间为；单调递减区间为
若存在x使得f（x）≥ln（2a）成立，只须，
即（14分）