Question

在以坐标轴为对称轴的椭圆上，O为坐标原点，A为右顶点，F为右焦点，过F作MN∥y轴，交椭圆于M，N两点，若|MN|=3，椭圆的离心率是方程2x²-5x+2=0的根．
（1）求椭圆的方程；
（2）若此椭圆的长轴不变，当以OA为斜边的直角三角形的直角顶点P落在椭圆上时，求椭圆短半轴长b的取值范围．

Answer

（1）由题意，易得，从而可求几何量，即可得到椭圆的方程；
（2）设出椭圆方程及P的坐标，利用以OA为斜边的直角三角形的直角顶点P落在椭圆，建立方程，即可求得结论．
【解析】
（1）由已知得，，∴a=2，c=1，b=
故椭圆C的方程为
（2）设椭圆方程为（b＞0），则令P（2cosα，bsinα）（0＜cosα＜1）
∵以OA为斜边的直角三角形的直角顶点P落在椭圆
∴=-1
∴令t=cosα（0＜t＜1），则=1-
∵0＜t＜1，∴
∵b＞0，∴0＜b＜