Question

设椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率e=，过椭圆外一点M（0，2）作直线l交椭圆与A，B两点，若△AOB的面积最大值为，求此椭圆方程和直线l的方程．

Answer

由于，所以设椭圆方程为：，设直线l方程为：y=kx+2，两者联立，又借助于△AOB的面积最大值为，可化得：4S2k4+（4S2-16c2）k2+S2-8c2+32=0，从而，故问题得解．
【解析】
∵，∴可设椭圆方程为：，显然直线l的斜率存在，
设直线l方程为：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）…1'
由消去y整理，得（1+2k2）x2+8kx+8-2c2=0，
由韦达定理得，
∴
可化得：4S2k4+（4S2-16c2）k2+S2-8c2+32=0（*）…8'
∵k2有解，∴△=（4S2-16c2）2-4×4S2×（S2-8c2+32）≥0，
解得，…10'
∴，∴c2=2，将c2=2，代入（*）得，…13'
综上所述，椭圆方程为：，直线l的方程为：，…14'