Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，若任意的a、b∈[-1，1]，且a+b≠0，都有．
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式：f（x+1）＜f（）．

Answer

（1）任取x1、x2两数使x1、x2∈[-1，1]，且x1＜x2，进而根据函数为奇函数推知f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2），让f（x1）+f（-x2）除以x1-x2再乘以x1-x2配出的形式，进而判断出f（x1）-f（x2）与0的关系，进而证明出函数的单调性．
（2）根据函数f（x）在[-1，1]上是增函数知：进而可解得x的范围．
【解析】
（1）任取x1、x2∈[-1，1]，且x1＜x2，则-x2∈[-1，1]．又f（x）是奇函数，于是
f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）
=•（x1-x2）．
据已知＞0，x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函数知：
，解得，
故不等式的解集为{x|-2≤x＜-}．