Question

已知f（x）=（+）²（x≥0），又数列{a_n}（a_n＞0）中，a₁=2，这个数列的前n项和的公式S_n（n∈N^*）对所有大于1的自然数n都有S_n=f（S_n-1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（n∈N^*），求证（b₁+b₂+…+b_n-n）=1．

Answer

（1）由于已知条件给出的是Sn与Sn-1的函数关系，而要求的是an的通项公式，故关键是确定Sn．知道Sn后，能够导出数列{an}的通项公式．
（2）由bn==1+-，知b1+b2+b3++bn-n=1-．从而能够导出（b1+b2+…+bn-n）=1．
【解析】
（1）∵f（x）=（+）2，
∴Sn=（+）2．
∴-=．又=，
故有=+（n-1）=n，
即Sn=2n2（n∈N*）．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-2（n-1）2=4n-2；
当n=1时，a1=2，适合an=4n-2．
因此，an=4n-2（n∈N*）．
（2）∵bn==1+-，
∴b1+b2+b3++bn-n=1-．
从而（b1+b2++bn-n）=（1-）=1．