Question

已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）+f（1-x）=1．
（1）求的值；
（2）若数列（n∈N*），求{a_n}的通项公式；
（3）若数列{b_n}满足b_n=2ⁿ⁺¹•a_n，S_n是数列{b_n}前n项的和，是否存在正实数k，使不等式knS_n＞4b_n对于一切的n∈N^*恒成立？若存在指出k的取值范围，并证明；若不存在说明理由．

Answer

由题设知，处变量的和为1，则函数值和为1．对于（1）令x=可以求得f（）值，令x=可以求得f（）+f（）的值．
对于（2）观察通项的形式，可以用倒序相加法求出通项的方程．求出an的值．
对于（3）可以看出，本题是一个对存在性问题的探究，其前提是解出数列{bn}的前n项和，观察其形式可以看出，就用错位相减法求和，代入不等式，可得到一关于n的一元二次不等式恒成立，由单调性判断可得出关于参数k的不等式．
【解析】
（1）令，，∴，
令，
（2）∵①
∴②
由（Ⅰ），知
∴①+②，得．∴．
（3）∵bn=2n+1•an，∴bn=（n+1）•2n
∴Sn=2•21+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，①
2Sn=2•22+3•23+4•24+…+n•2n+（n+1）•2n+1，②
①-②得-Sn=4+22+23+…+2n-（n+1）•2n+1
即Sn=n•2n+1
要使得不等式knSn＞4bn恒成立，
即kn2-2n-2＞0对于一切的n∈N*恒成立，n=1时，k-2-2＞0成立，即k＞4
设g（n）=kn2-2n-2
当k＞4时，由于对称轴直线，
且g（1）=k-2-2＞0，而函数f（x）在[1，+∞）是增函数，
∴不等式knSn＞bn恒成立
即当实数k大于4时，不等式knSn＞bn对于一切的n∈N*恒成立．