Question

六个不同大小的数按如图形式随机排列，设第一行这个数为M₁，M₂，M₃分别表示第二、三行中最大数，则满足M₁＜M₂＜M₃所有排列的个数    ．

Answer

判断a一定在第三行，分M2是b、M2 是c、M2是d 三种情况，分别求出满足条件的排法，相加即得结果．
【解析】
首先M3一定是6个数中最大的，设这六个数分别为a，b，c，d，e，f，不妨设 a＞b＞c＞d＞e＞f．
因为如果a在第三行，则a一定是M3，若a不在第三行，则a一定是M1或M2，此时无法满足M1＜M2＜M3，故a一定在第三行．
故  M2一定是b，c，d中一个，
否则，若M2 是e，则第二行另一个数只能是f，那么第一行的数就比e大，无法满足M1＜M2 ＜M3．
当M2是b 时，此时，a在第三行，b在第二行，其它数任意排，所有的排法有 C31 C21 A44=144 （种），
当M2 是c 时，此时a和b必须在第三行，c在第二行，其它数任意排，所有的排法有A32  C21 A33=72（种），
当M2是d时，此时，a，b，c 在第三行，d在第二行，其它数任意排，所有的排法有A33 C21 A22=24（种），
故满足M1＜M2＜M3所有排列的个数为：24+72+144=240种，故答案为：240．