Question

定义在R上的奇函数f（x）=x³+bx²+cx+d，在x=±1处取得极值
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在[-1，m]（m＞-1）上的最大、最小值．

Answer

（1）先根据函数的奇偶性判断b，d的值，在对函数进行求导，令f'（1）=0可求出c的值，进而确定函数解析式．
（2）讨论m与1和2的大小，然后研究函数的单调性，从而得到函数在[-1，m]（m＞-1）上的最大、最小值．
【解析】
（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴b=d=0，f（x）=x3+cx∴f'（x）=3x2+c
∵在x=±1处取得极值∴f'（1）=0∴c=-3
∴f（x）=x3-3x；
（2）因为m＞-1
1、当-1＜m≤1时，f（x）在[-1，m]上单调递减
f（x）min=f（m）=m3-3m，f（x）max=f（-1）=2
2、当1＜m≤2时，f（x）在[-1，1]上单调递减，在（1，m）上单调递增
f（x）min=f（1）=-2，f（x）max=f（-1）=2
3、当m＞2时
f（x）min=f（1）=-2，f（x）max=f（m）=m3-3m