Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-a|．
（I）若不等式f（x）≤m的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a，m的值．
（II）当a=2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2t）（t≥0）．

Answer

（I）根据绝对值不等式的解法，我们可得f（x）≤m的解集a-m≤x≤a+m，再由已知中f（x）≤m的解集为{x|-1≤x≤5}，由此可以构造一个关于a，m的二元一次方程组，解方程组，即可得到答案．
（II）当a=2时，f（x）+t≥f（x+2t）可以转化为|x-2+2t|-|x-2|≤t，分t=0，t＞0两种情况，分别解不等式，即可得到答案．
【解析】
（Ⅰ）由|x-a|≤m得a-m≤x≤a+m，
所以解之得为所求．…（3分）
（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x-2|，
所以f（x）+t≥f（x+2t）⇔|x-2+2t|-|x-2|≤t，①
当t=0时，不等式①恒成立，即x∈R；
当t＞0时，不等式①
解之得x＜2-2t或或x∈ϕ，即；
综上，当t=0时，原不等式的解集为R，
当t＞0时，原不等式的解集为．…（10分）