Question

在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（Ⅰ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；
（Ⅱ）求证CE∥平面PAB．

Answer

（Ⅰ）欲证PC⊥平面AEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证PC与平面AEF内两相交直线垂直，而AF⊥PC，EF⊥PC，AF∩EF=F，满足定理的条件；
（Ⅱ）欲证EC∥平面PAB，取AD中点M，连EM，CM，可先证明平面EMC∥平面PAB，而EC⊂平面EMC，从而得到EC∥平面PAB．
【解析】
（Ⅰ）∵PA=CA，F为PC的中点，
∴AF⊥PC．（7分）
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E为PD中点，F为PC中点，
∴EF∥CD．则EF⊥PC．（9分）
∵AF∩EF=F，∴PC⊥平面AEF．（10分）

（Ⅱ）取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．
∵EM⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴EM∥平面PAB．（12分）
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，
∴∠ACM=60°．而∠BAC=60°，∴MC∥AB．
∵MC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴MC∥平面PAB．（14分）
∵EM∩MC=M，
∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC⊂平面EMC，
∴EC∥平面PAB．（15分）