Question

如图1，已知矩形ABCD，AB=2AD=2a，E是CD边的中点，以AE为棱，将△DAE向上折起，将D变到D′的位置，使面D′AE与面ABCE成直二面角（图2）．
（1）求直线D′B与平面ABCE所成的角的正切值；
（2）求证：AD′⊥BE；  
（3）求点C到平面AE D′的距离．

Answer

（1）根据二面角的定义，作D′O⊥AE于O，连 OB，可得∠D′BO是直线D′B与平面ABCE所成的角，解直角△D′OB，即可求出直线D′B与平面ABCE所成的角的正切值；
（2）连接BE，则BE⊥AE于E，由线面垂直的性质，由（1）中结论D′O⊥平面ABCE，可得D′O⊥BE，结合线面垂直的判定定理，证得BE⊥平面AD′E后，易得AD′⊥BE；  
（3）由已知E是CD边的中点，可得C点到平面AE D′的距离是B到平面AE D′的一半，由（2）结论可知BE长即为B到平面AE D′的距离，进而得到答案．
解  （1）∵D′-AE-B是直二面角，∴平面D′AE⊥平面ABCE．
作D′O⊥AE于O，连 OB，
∴D′O⊥平面ABCE．             
∴∠D′BO是直线D′B与平面ABCE所成的角．
∵D′A=D′E=a，且D′O⊥AE于O，∠AD′E=90°
∴O是AE的中点，
AO=OE=D′O=a，∠D′AE=∠BAO=45°．…（2分）
∴在△OAB中，OB==a．
∴在直角△D′OB中，tan∠D′BO==．…（4分）
（2）连接BE
∵∠AED=∠BEC=45°，∴∠BEA=90°，即BE⊥AE于E．
∵D′O⊥平面ABCE，∴D′O⊥BE，…（6分）
∴BE⊥平面AD′E，∴BE⊥AD′．…（8分）
（3）C点到平面AE D′的距离是B到平面AE D′的一半即BE=a…（12分）