Question

已知函数f（x）=x³-x，数列{a_n}满足条件：a₁≥1，a_n+1≥f′（a_n+1），
（1）证明：a_n≥2ⁿ-1（n∈N^*）
（2）试比较+…+与1的大小，并说明理由．

Answer

（1）先求导函数，再利用an+1≥f′（an+1），得an+1≥a2n+2an，借助于数学归纳法加以证明；
（2）由（1）得，利用放缩法，再利用等比数列的求和公式即可证得．
【解析】
（1）证明：∵f′（x）=x2-1，∴an+1≥an2+2an…（2分）
1）当n=1时，a1≥1=21-1，命题成立； …（3分）
2）假设当n=k（k≥1）时命题成立，即ak≥2k-1；
那么当n=k+1时，ak+1≥ak2+2ak=ak（ak+2）=22k-1≥2k+1-1…（6分）
即当n=k+1时，命题成立；
所以，综上所述，命题成立…（7分）
（2）∵an≥2n-1，∴1+an≥2n，∴，∴+…+…（12分）