Question

已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列条件：
①对任意的x∈R都有f（x+2）=f（x）；
②若0≤x₁＜x₂≤1，都有f（x₁）＞f（x₂）；
③y=f（x+1）是偶函数，
则下列不等式中正确的是（ ）
A．f（7.8）＜f（5.5）＜f（-2）
B．f（5.5）＜f（7.8）＜f（-2）
C．f（-2）＜f（5.5）＜f（7.8）
D．f（5.5）＜f（-2）＜f（7.8）

Answer

利用函数的周期性f（7.8）=f（1.8）；f（5.5）=f（1.5）；f（-2）=f（0）；再利用函数y=f（x+1）为偶函数化简到区间[0，1]，再利用函数的单调性比较函数值的大小即可．
【解析】
∵对任意的x∈R都有f（x+2）=f（x），∴函数是以2为周期的周期函数；
根据若0≤x1＜x2≤1，都有f（x1）＞f（x2），函数在区间[0，1]上是减函数；
∵y=f（x+1）是偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），其图象关于x=1直线对称，
∴f（-2）=f（0）；
f（7.8）=f（6+1.8）=f（1.8）=f（0.8+1）=f（-0.8+1）=f（0.2）；
f（5.5）=f（4+1.5）=f（1.5）=f（0.5+1）=f（-0.5+1）=f（0.5）；
∵0≤x1＜x2≤1，都有f（x1）＞f（x2）；
∴f（-2）＞f（7.8）＞f（5.5）．
故选B