Question

已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用奇函数定义f（x）=-f（x）中的特殊值f（0）=0求b的值；
（Ⅱ）设x1＜x2然后确定f（x1）-f（x2）的符号，根据单调函数的定义得到函数f（x）的单调性；
（III）结合单调性和奇函数的性质把不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，
即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
设x1＜x2则f（x1）-f（x2）=-=
因为函数y=2x在R上是增函数且x1＜x2∴f（x1）-f（x2）=＞0
即f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在（-∞，+∞）上为减函数
（III）f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，又因为f（x）是奇函数，
所以f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0
等价于f（t2-2t）＜-f（2t2-k）=f（k-2t2），
因为f（x）为减函数，由上式可得：t2-2t＞k-2t2．
即对一切t∈R有：3t2-2t-k＞0，
从而判别式 ．
所以k的取值范围是k＜-．