Question

已知双曲线，O为坐标原点，离心率e=2，点M（）在双曲线上． 
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若直线l与双曲线交于P、Q两点，且，求的值．

Answer

（Ⅰ）利用双曲线的离心率e=2，点M（）在双曲线上，建立方程，结合c2=a2+b2，即可求得双曲线的方程；
（Ⅱ）设OP直线方程为y=kx，OQ直线方程为y=-，分别与双曲线方程联立，计算、，即可求得的值．
【解析】
（Ⅰ）∵双曲线的离心率e=2，点M（）在双曲线上
∴，
∵c2=a2+b2
∴a2=4，b2=12
∴双曲线的方程为；
（Ⅱ）设OP直线方程为y=kx，OQ直线方程为y=-
y=kx代入双曲线方程，可得，∴，
∴
∴==
同理，=
∴=