Question

如果一个数列的各项的倒数成等差数列，我们把这个数列叫做调和数列
（1）若a²，b²，c²成等差数列，证明b+c，c+a，a+b成调和数列；
（2）设S_n是调和数列的前n项和，证明对于任意给定的实数N，总可以找到一个正整数m，使得当n＞m时，S_n＞N．

Answer

（1）欲证b+c，c+a，a+b成调和数列，只须证，只须证2b2=a2+c2．因为a2，b2，c2成等差数列，所以2b2=a2+c2成立，由此能证明b+c，c+a，a+b成调和数列．
（2），所以=＞1+，对于任一给定的N，欲使Sn＞N，只须，即k＞2（N-1），由此能够证明当n＞m时，Sn＞N．
证明：（1）欲证b+c，c+a，a+b成调和数列，
只须证
只须证2（b+c）（a+b）=（c+a）（a+b）+（c+a）（b+c）
化简后，只须证2b2=a2+c2
因为a2，b2，c2成等差数列，所以2b2=a2+c2成立
所以b+c，c+a，a+b成调和数列
（2）

对于任一给定的N，欲使Sn＞N，
只须，
即k＞2（N-1），
取m=[22（N-1）]+1（其中[22（N-1）]表示22（N-1）的整数部分），
则当n＞m时，Sn＞N．
（本题解法和答案不唯一）