Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=2x-2．
（1）试判断函数F（x）=（x²+1）f （x）-g（x）在[1，+∞）上的单调性；
（2）当0＜a＜b时，求证：函数f（x）定义在区间[a，b]上的值域的长度大于（闭区间[m，n]的长度定义为n-m）．
（3）方程f（x）=是否存在实数根？说明理由．

Answer

（1）由函数f（x）=lnx，g（x）=2x-2，我们易得到函数F（x）=（x2+1） f （x）-g（x）的解析式，利用导数法易判断出函数在区间[1，+∞）上导函数的值，进而判断出其单调性．
（2）若要证明函数f （x）定义在区间[a，b]上的值域的长度大于，即证lnb-lna＞，构造函数，结合函数的单调性易得结论．
（3）由f（x）=⇔xlnx=，我们可以构造函数h（x）=xlnx（x＞0）．利用导数法判断h（x）的单调性，求出其最值后，即可得到结论．
解（1）∵F（x）=（x2+1）lnx-2x+2．
∴F′（x）=2xlnx+．
∴当x≥1时，F′（x）≥0且仅当x=1时F′（x）=0
∴F（x）在（1，+∞）上单调递增（4分）
（2）∵0＜a＜b，f（x）在[a，b]上的值域为[lna，lnb]
∴要证值域的长度大于，
即证lnb-lna＞
只要证ln
∵0＜a＜b，
∴，令
则只要证lnx＞（x＞1）
即证（x2+1）lnx-（2x-2）＞0（※）
由（1）可知F（x）在（1，+∞）上单调递增∴F（x）＞F（1）=0
所以（※）式成立．
∴f（x）在[a，b]上的值域的长度大于．（9分）
（3）∵f（x）=⇔xlnx=
令h（x）=xlnx（x＞0）．则h′（x）=lnx+1
当x∈（0，）时h′（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．所以h（x）min=h（）=-．
令空集（x）=，则，
当x∈（0，1），空集'（x）＞0，空集（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，空集'（x）＜0，空集（x）单调递减．
∴C（x）max=
所以方程f（x）=没有实根（13分）