Question

设函数f（x）=ax+2，g（x）=a²x²-lnx+2，其中a∈R，x＞0．
（Ⅰ）若a=2，求曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程；
（Ⅱ）是否存在负数a，使f（x）≤g（x）对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）先求函数g（x）的导函数g′（x），再求g′（1）即得到线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线斜率，最后由点斜式写出切线方程
（Ⅱ）构造新函数h（x）=f（x）-g（x），f（x）≤g（x）对一切正数x都成立，即h（x）≤0对一切正数x都成立，即h（x）的最大值小于或等于零，从而将问题转化为求函数h（x）的最大值问题，利用导数求新函数的最值即可
【解析】
（Ⅰ）由题意可知：当a=2时，g（x）=4x2-lnx+2
则
曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线斜率k=g'（1）=7，又g（1）=6
曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线的方程为y-6=7（x-1）即y=7x-1
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x）=ax+lnx-a2x2（x＞0）
假设存在负数a，使得f（x）≤g（x）对一切正数x都成立．
即：当x＞0时，h（x）的最大值小于等于零．
令h'（x）=0可得：（舍）
当时，h'（x）＞0，h（x）单增；
当时，h'（x）＜0，h（x）单减．
所以h（x）在处有极大值，也是最大值．∴解得：
所以负数a存在，它的取值范围为：