Question

设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=-2ax+4x³．
（Ⅰ） 若f（x）在（0，1]上为增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ） 是否存在正整数a，使f（x）的图象的最高点落在直线y=12上？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）先求出函数在（0，1]上的解析式，再利用f'（x）≥0在x∈（0，1]恒成立可求；（Ⅱ）存在，令f'（x）＞0，即可求出a的取值范围，便可知0＜a≤6不符合题意，当a＞6时[f（x）]max=f（1）=2a-4-12，即可求出满足题意的a的值．
【解析】
因为当x∈[-1，0]时，f（x）=-2ax+4x3．
所以当x∈（0，1]时，f（x）=f（-x）=2ax-4x3，
∴
（Ⅰ）由题设f（x）在（0，1]上为增函数，∴f'（x）≥0在x∈（0，1]恒成立，
即2a-12x2≥0对x∈（0，1]恒成立，于是，a≥6x2，从而a≥（6x2）max=6．
即a的取值范围是[6，+∞）
（Ⅱ）因f（x）为偶函数，故只需研究函数f（x）=2ax-4x3在x∈（0，1]的最大值．
令f'（x）=2a-12x2=0，得．…（8分）
若∈（0，1]，即0＜a≤6，则，
故此时不存在符合题意的a；
若＞1，即a＞6，则f（x）在（0，1]上为增函数，于是[f（x）]max=f（1）=2a-4．
令2a-4=12，故a=8．综上，存在a=8满足题设．…（12分）