Question

设函数．
（I）求f′（x）的表达式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间、极大值和极小值；
（Ⅲ）若x∈[a+1，a+2]时，恒有f′（x）＞-3a，求实数a的取值范围．

Answer

（1）直接利用多项式函数的求导公式求解
（2）判定函数当x变化时，f'（x）的变化情况，f'（x）＞0求得单调增区间，f'（x）＜0求得单调减区间，f'（x）的变化情况研究出函数的极值
（3）研究x∈[a+1，a+2]时，恒有f'（x）＞-3a成立的问题，可转化成f'（x）的最小值大于-3a成立．
【解析】
（I）f'（x）=x2-2ax-3a2．（3分）
（Ⅱ）令f'（x）=x2-2ax-3a2=0，得x=-a或x=3a．（5分）
则当x变化时，f（x）与f'（x）的变化情况如下表：

可知：当x∈（-∞，-a）时，函数f（x）为增函数，当x∈（3a，+∞）时，函数f（x）也为增函数．（6分）
当x∈（-a，3a）时，函数f（x）为减函数．（7分）；（8分）
当x=3a时，f（x）的极小值为-9a3+1．（9分）
（Ⅲ）因为f'（x）=x2-2ax-3a2的对称轴为x=a，
且其图象的开口向上，所以f'（x）在区间[a+1，a+2]上是增函数．（10分）
则在区间[a+1，a+2]上恒有f'（x）＞-3a等价于f'（x）的最小值大于-3a成立．
所以f'（a+1）=（a+1）2-2a（a+1）-3a2=-4a2+1＞-3a．（12分）
解得．又a＞0，故a的取值范围是（0，1）