Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想a_n的表达式；
（3）用数学归纳法证明（2）中的猜想．

Answer

（1）当n=1时，将a1=1，代入4an+1-anan+1+2an=9可求得a2，同理可求得a3，a4的值；
（2）由（1）求得a2=，，a4=，观察分母与项数之间的关系，可找到规律，同样，每一项的分子7，13，19，…可构成等差数列，于是可猜得an的表达式；
（3）用数学归纳法进行证明时，第二步假设n=k时成立，证明n=k+1结论也成立时需用好归纳假设．
【解析】
（1）∵a1=1，4an+1-anan+1+2an=9，
∴4a2-a2+2=9，解得a2=，同理求得a3=，a4=；
（2）由a1=1，a2=，a3=，a4=，猜想an=；
（3）证明：①当n=1时，a1=1，右端=1，等式成立；
②假设当n=k时，等式成立，即ak=，
那么，当n=k+1时，
∵4ak+1-ak•ak+1+2ak=9，
∴ak+1====，
即当n=k+1时，等式也成立；
由①②得对任意n∈N*，等式均成立．