Question

已知四棱锥 P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD，侧面PBC⊥底面ABCD．
（Ⅰ）求证：PA⊥BD；  
（Ⅱ）求二面角P-BD-C的正切值．

Answer

（Ⅰ） 取BC的中点H，连接PH，连接AH交BD于E．根据三垂线定理，只需证明AH⊥BD即可．
（Ⅱ）连接PE，则由（Ⅰ）知PE⊥BD．∴∠PEH为所求二面角的平面角．在直角三角形PEH中求解．
【解析】
（Ⅰ）取BC的中点H，连接PH，连接AH交BD于E．
∵BC=PB=PC，∴PH⊥BC．
又面PBC⊥面ABCD，
∴PH⊥面ABCD．
∵，
∴∠HAB=∠DBC．
∵∠DBC+∠DBA=90°，
∴∠HAB+∠DBA=90°
∠AEB=90°，即AH⊥BD．
因为AH为PA在平面ABCD上的射影，∴PA⊥BD．
（Ⅱ）连接PE，则由（Ⅰ）知PE⊥BD．
∴∠PEH为所求二面角的平面角．
在△DBC中，由，求得．
∴．
即所求二面角的正切值为．