Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数m，n都有，且，当时，f（x）＞0．
（1）求f（1）；
（2）求和f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N*）；
（3）判断函数f（x）的单调性并证明．

Answer

（1）在已知等式中，令m=n=，可以求出f（1）的值．
（2）由f（1）的值和已知等式，依次求出f（2）、f（3）、…f（n），利用等差数列的求和公式计算出所求式子的值．
（3）写出f（x）的解析式，依据单调性的定义证明在其定义域内单调递增．
【解析】
（1）f（1）=f（）+f（）+=0+0+=，（2分）
（2）∵f（2）=f（1）+f（1）+=3×，
f（3）=f（2）+f（1）=5×，…
f（n）=（2n-1）×，
∴f（1）+f（2）+…+f（n）=（1+3+5+…（2n-1））=n2（7分）
（3）f（x）=（ 2x-1）×=x-，在其定义域内是增函数，
证明：设  a＜b，f（b）-f（a）=（b-）-（a-）=b-a，由题设知，b-a＞0，
∴f（b）-f（a）＞0，f（b），＞f（a），∴f（x）在其定义域内是增函数．