Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，当x=-1时，f（x）的极大值为7；当x=3时，f（x）有极小值．求：
（1）a，b，c的值；
（2）函数f（x）的极小值．

Answer

（1）因为当x=-1时，f（x）有极大值，当x=3时，f（x）有极小值，所以把x=-1和3代入导数，导数都等于0，就可得到关于a，b，c的两个等式，再根据极大值等于7，又得到一个关于a，b，c的等式，三个等式联立，即可求出a，b，c的值．
（2）因为函数再x=3处有极小值，所以把x=3代入原函数，求出的函数值即为函数的极小值．
【解析】
（1）∴f（x）=x3+ax2+bx+c
∵f'（x）=3x2+2ax+b
而x=-1和x=3是极值点，
所以解之得：a=-3，b=-9
又f（-1）=-1+a-b+c=-1-3+9+c=7，故得c=2
（2）由（1）可知f（x）=x3-3x2-9x+2而x=3是它的极小值点，所以函数f（x）的极小值为-25．