Question

设函数f（x）=3ax²-2（a+c）x+c，（a＞c＞0）．
（1）判断函数f（x）在区间[1，+∞）的单调性；
（2）函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点，有几个零点？为什么？

Answer

（I）由题意可得：二次函数的对称轴为，由条件可得：2a＞a+c，所以，进而得到答案．
（II）二次函数的对称轴是，因为f（0）=c＞0，f（1）=a-c＞0，而=＜0，根据根的存在性定理即可得到答案．
【解析】
（I）因为二次函数f（x）=3ax2-2（a+c）x+c的图象的对称轴，
因为由条件a＞c＞0，得2a＞a+c，
所以，
所以二次函数f（x）的对称轴在区间[1，+∞）的左边，且抛物线的开口向上，
所以f（x）在区间[1，+∞）是增函数．
（II）由（I）可得：二次函数f（x）=3ax2-2（a+c）x+c图象的对称轴是．
因为f（0）=c＞0，f（1）=a-c＞0，而=＜0，
所以函数f（x）在区间和内分别有一零点．
故函数f（x）在区间（0，1）内有两个零点．