Question

已知函数f（x）满足2f（x）+f（）=x
（1）求f（1）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若g（x）=3f（x）+，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，求实数的取值范围．

Answer

（1）令x=1得 2f（1）+f（1）=1，从而求得 f（1 ）的值．
（2）由2f（x）+f（）=x，用  替换得 f（x）+2f（）=x，解方程求得f（x） 的解析式．
（3）根据g（x）的解析式求出它的导数g′（x），由g′（x）≤0 在区间（0，2]上恒成立，即 2-≤0，
得到 a≥2x2+1，x∈（0，2]，从而得到2x2+1∈（0，9]，故a≥9．
【解析】
（1）令x=1得 2f（1）+f（1）=1，∴f（1）=．
（2）∵2f（x）+f（）=x，用  替换得 f（x）+2f（）=x，解得f（x）=．
（3）g（x）=3f（x）+==2x+，∴g′（x）=2-，
∵g（x）在区间（0，2]上为减函数，∴g′（x）≤0 在区间（0，2]上恒成立，即  2-≤0，
∴a≥2x2+1   而 x∈（0，2]，则 2x2+1∈（0，9]，∴a≥9，
∴实数的取值范围为[0，9）．