Question

已知正项数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N₊），令b_n=log₂（a_n+1）．
（1）求证：数列{b_n}为等比数列；
（2）记T_n为数列的前n项和，是否存在实数a，使得不等式对∀n∈N₊恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）有条件可得 =2log2（an+1），变形可得 =2，从而数列{bn}为等比数列．
（2）求出数列的通项为 -，可得Tn =1-＜1，要使不等式对∀n∈N+恒成立，只要 ≥1  即可，即 ，
解不等式组求得a的取值范围．
【解析】
（1）∵an+1=an2+2an，∴an+1+1=an2+2an+1，∴=2log2（an+1），
∵bn=log2（an+1），∴=2，∴数列{bn}为等比数列．
（2）∵数列{bn}为等比数列，b1=1，q=2，∴bn=2n-1，∴==-，
∴Tn=1-+-+…+-=1-＜1，∵不等式对∀n∈N+恒成立，
只要 ≥1=log0.50.5  即可，即 ，即 ，
解得-≤a＜0，或  ＜a≤1，故a的取值范围 为[-，0）∪（，1]．