Question

已知函数f（x）=ax³+2x²，其中a＞0
（1）当a=3时，求过点（）且与曲线y=f（x）（x＞0）相切的直线方程
（2）若f（x）在区间[-1，1]上的最小值为-2，求的值．

Answer

（1）根据导数的几何意义可知在x处的导数等于切线的斜率，建立等式关系，求出切点的横坐标，代入函数关系式，求出切点坐标，最后利用点斜式方程写出切线方程即可．
（2）先求导f′（x）=ax2+4x=x（ax+4），再对a进行分类讨论：当-1≤-，当-＜-1；分别求得f（x）在区间[-1，1]上的最小值，从而列出关于a的方程即可求得a=12．
【解析】
（1）a=3时f（x）=x3+2x2f′（x）=3x2+4x
设切点（m，m3+2m2）（m＞0），则在切点处的切线的斜率为k=3m2+4m
∴切线方程y-m3-2m2=（3m2+4m）（x-m）
∵过（，0）
∴-m3-2m2=（3m2+4m）（-m）即7m3+m2-8m=0
m=0（舍）或m=1或m=-
∴所求的切线方程7x-y-4=0
（2）f（x）=ax3+2x2∴f′（x）=ax2+4x=x（ax+4）
因a＞0，f′（x）＞0，x＜-或x＞0，f′（x）＜0，-＜x＜0
y=f（x）在x＜-或x＞0上单调增，在-＜x＜0上单调减．
当-1≤-即a≥4时y=f（x）在[-1，-]，[0，1]上单调增，在[-，0]上单调减，f（x）的最小值在x=-1或x=0时取到，
f（0）=0不符合题意，f（-1）=-a+2，a=12
当-＜-1即0＜a＜4时y=f（x）在[0，1]上单调增，在[-1，0]上单调减
∴y=f（x）的最小值在x=0取到    
而f（0）=0≠-2（舍）
∴a=12．