Question

已知P是正四面体S-ABC的面SBC上一点，P到面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

Answer

设正四面体S-ABC的棱长为a，则AB=SB=a，由余弦定理知4a2=3a2+3a2-2×3a2•cos∠ABS，所以cos∠ABS=，sin，设SB=b，则O1P=b，过P作PE⊥BC，垂足为E，连接O1E，则O1E⊥BC，
所以，由此能导出，由椭圆定义知动点P的轨迹所在的曲线是椭圆．
【解析】
设正四面体S-ABC的棱长为a，则AB=SB=a，
∵AS2=AB2+SB2-2AB•SBcos∠ABS，
∴4a2=3a2+3a2-2×3a2•cos∠ABS，
∴cos∠ABS=，
∴sin，
设SB=b，则O1P=b，
过P作PE⊥BC，垂足为E，
连接O1E，则O1E⊥BC，
∴，
在Rt△PO1E中，
PE=，
∴，
由椭圆定义知动点P的轨迹所在的曲线是椭圆．
故选B．