Question

如图，F₁、F₂分别为椭圆的焦点，椭圆的右准线l与x轴交于A点，若F₁（-1，0），且．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F₁、F₂作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P、Q、M、N四点，求四边形PMQN面积的取值范围．

Answer

（I） 先确定A点坐标为（a2，0），利用，可得F2是AF1的中点，由此可求椭圆方程；
（II）当直线MN与PQ中有一条与x轴垂直时，四边形PMQN面积；当直线PQ，MN均与x轴不垂直时，设直线PQ、MN的方程与椭圆方程联立，求得|PQ|，|MN|，表示出四边形PMQN面积，再换元，即可求得四边形PMQN面积的取值范围．
【解析】
（I） 由F1（-1，0）得c=1，∴A点坐标为（a2，0）；…（2分）
∵，∴F2是AF1的中点，∴a2=3，b2=2
∴椭圆方程为…（5分）
（II）当直线MN与PQ中有一条与x轴垂直时，四边形PMQN面积；…（6分）
当直线PQ，MN均与x轴不垂直时，不妨设PQ：y=k（x+1）（k≠0），
联立代入消去y得（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2）则…（8分）
∴，同理
∴四边形PMQN面积…（10分）
令，则，则S是以u为变量的增函数
所以当k=±1，u=2时，，∴
综上可知，，∴四边形PMQN面积的取值范围为…（13分）