Question

如图，CB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，AP与CB的延长线交于点P，A为切点，若PA=10，PB=5，∠BAC的平分线AE与BC和⊙O分别交于点D、E，则AD•AE的值为    ．

Answer

先由∠PAB=∠ACP以及∠P公用，得到△PAB∽△PCA，进而求出=，再由切割线定理得到PA2=PB•PC；结合前面求出的结论以及勾股定理求出AC=6，AB=3；再结合条件得到△ACE∽△ADB，进而求出结果．
【解析】
【解析】
连接CE，∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAB=∠ACP，…（1分）
又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．…（2分）
∴=．…（3分）
∵PA为⊙O的切线，PBC是过点O的割线，
∴PA2=PB•PC．…（5分）
又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分）
由（ I）知，==，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=90°．
∴AC2+AB2=BC2=225，
∴AC=6 ，AB=3，…（7分）
连接CE，则∠ABC=∠E，…（8分）
又∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，
∴=，…（9分）
∴AD•AE=AB•AC=3×6=90．…（10分）