Question

已知在△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知向量=（sinA+sinC，sinB-sinA），=（sinA-sinC，sinB），且，
（1）求角C的大小；
（2）若，试求sin（A-B）的值．

Answer

（1）由两向量的坐标，及两向量垂直，得到其数量积为0，根据平面向量的数量积运算法则化简，整理后再利用正弦定理化简，利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）利用正弦定理化简已知的等式，将C的度数代入，并利用二倍角的余弦函数公式化简后，再由三角形的内角和定理及C的度数，用A表示出B，代入化简后的式子中，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sin（2A+）的值，然后将表示出的B代入所求的式子中，整理后利用诱导公式化简，将求出的sin（2A+）的值代入即可求出所求式子的值．
【解析】
（1）∵=（sinA+sinC，sinB-sinA），=（sinA-sinC，sinB），且⊥，
∴•=（sinA+sinC）（sinA-sinC）+sinB（sinB-sinA）=0，
即sin2A-sin2C+sin2B-sinAsinB=0，
整理得：sin2C=sin2A+sin2B-sinAsinB，
由正弦定理得：c2=a2+b2-ab，即a2+b2-c2=ab，
再由余弦定理得：cosC==，
∵0＜C＜π，∴C=；
（2）∵a2=b2+c2，
∴sin2A=sin2B+sin2C，即sin2A-sin2B=，
∴-=，即cos2B-cos2A=，
∵A+B+C=π，即A+B=，
∴cos（-2A）-cos2A=，即-cos（-2A）-cos2A=，
整理得：cos2A+sin2A+cos2A=-，即cos2A+sin2A=-，
∴sin（2A+）=-，
则sin（A-B）=sin[A-（-A）]=sin（2A-）=-sin（2A-+π）=-sin（2A+）=．