Question

某地区气候条件恶劣，且位于沙漠边缘地带，到2011年底该地区的绿化率只有30%，计划从2012年开始加大沙漠化改造的力度，每年将原来沙漠面积的16%改造为绿洲，但同时原有绿洲面积的4%还会被沙漠化．
（1）设该地区的总面积为a，2011年底的绿洲面积为，经过一年治理后绿洲面积为a₂，…，经过n年后绿洲面积为a_n+1，求证：；
（2）问至少需要经过多少的努力，才能使该地区的绿洲面积超过60%？（参考数据：lg2=0.3）

Answer

（1）经过n年后绿洲面积由两部分组成，一部分是原有的绿洲面积减去沙漠化后剩下的面积为96%an，另一部分是新绿洲化的面积16%bn，由此可得结论；
（2）先确定an+1=-a×，再建立不等式，即可得到结论．
（1）证明：设2011年底沙漠面积为b1，经过n年沙漠面积为bn+1，则a1+b1=a，
依题意，an+1由两部分组成，一部分是原有的绿洲面积减去沙漠化后剩下的面积为96%an，另一部分是新绿洲化的面积16%bn，
∴an+1=96%an+16%bn=an+a；
（2）【解析】
由（1）可知an+1-=（an-）
∴{an-}是以-a为首项，为公比的等比数列
∴an+1=-a×
依题意：-a×＞60%a
∴
∴
∴至少需要5年才能达到目标．